Aquiles y la tortuga II

Draco teneis razon es un buen problema me agrado y es por eso que lo publico:


Aquiles había alcanzado a la tortuga y se había sentado cómodamente sobre su caparazón.
"¿De modo que ha llegado usted al final de nuestra carrera?" dijo la Tortuga. "¿Aún cuando consistía en una serie infinita de distancias? ¿Pensó que algún sabihondo había probado que la cuestión no podía ser realizada?"
"Sí puede ser realizada", dijo Aquiles. "¡Ella ha sido realizada! Solivitur ambulando. Usted ve, las distancias fueron disminuyendo constantemente y asi..."
"¿Pero si hubieran ido aumentando," interrumpió la tortuga, "entonces qué?"
"Entonces yo no debería estar aquí", replicó modestamente Aquiles; "y a estas alturas usted hubiera dado ya varias vueltas al mundo."
"Me aclama - aplana, quiero decir", dijo la Tortuga; "pues usted sí que es un peso pesado, ¡sin duda! Ahora bien, ¿le gustaría oir acerca de una carrera en la que la mayoría de la gente cree poder llegar con dos o tres pasos al final y que realmente consiste en un número infinito de distancias, cada una más larga que la distancia anterior?".
"¡Me encantaría, de veras!" dijo el guerrero griego mientras sacaba de su casco (pocos guerreros griegos poseían bolsillos en aquellos días) una enorme libreta de apuntes y un lápiz. "¡Empiece, y hable lentamente, por favor! ¡La taquigrafia aún no ha sido inventada!"
"¡El hermoso Primer Teorema de Euclides!", murmuró como en sueños la tortuga. "¿Admira usted a Euclides?"
"¡Apasionadamente! ¡Al menos, tanto como uno puede admirar un tratado que no será publicado hasta dentro de algunos siglos más!"
"Bien, en ese caso tomemos solo una pequeña parte del argumento de ese Primer Teorema: sólo dos pasos y la conclusión extraída de ellos. Tenga la bondad de registrarlos en su libreta. Y, a fin de referirnos a ellos convenientemente, llamémoslos A, B y Z.
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Los lectores de Euclides admitirán, supongo, que Z se sigue lógicamente de A y B, de modo que quien acepte A y B como verdaderas debe aceptar Z como verdadera, ¿no?"
"¡Sin duda! Hasta el más joven de los alumnos de una Escuela Superior -tan pronto como se inventen las Escuelas Superiores, cosa que no sucederá hasta dentro de dos mil años- admitirán eso."
"Y si algún lector no ha aceptado A y B como verdaderas, supongo que aún podría aceptar la secuencia como valida."
"Sin duda que podría existir un lector así. El podría decir 'Acepto como verdadera la Proposición Hipotética de que si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera, pero no acepto A y B como verdaderas'. Un lector así procedería sabiamente abandonando a Euclides y dedicándose al fútbol."
"¿Y no podría haber tambien algún lector que pudiera decir 'Acepto A y B como verdaderas, pero no acepto la Hipotética'?"
"Ciertamente podría haberlo. El, también, mejor se hubiera dedicado al fútbol."
"¿Y ninguno de estos lectores", continuó la Tortuga, "tiene hasta ahora alguna necesidad lógica de aceptar Z como verdadera?"
"Así es", asintió Aquiles.
"Ahora bien, quiero que Ud. me considere a mí como un lector del segundo tipo y que me fuerce, lógicamente, a aceptar Z como verdadera."
"Una Tortuga jugando al fútbol sería..." comenzó Aquiles.
"... Una anomalía, por supuesto", interrumpió airadamente la Tortuga. "¡No se desvíe del tema, Primero Z y después el fútbol!"
"¿Debo forzarlo a aceptar Z, o no?" preguntó Aquiles pensativamente. "Y su posición actual es que acepta A y B pero NO acepta la Hipotética..."
"Llamémosla C", dijo la tortuga; "pero no acepta que:
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera."
"Esa es mi posición actual", dijo la Tortuga.
"Entonces debo pedirle que acepte C."
"Lo hará así", dijo la Tortuga, "tan pronto como lo haya registrado en su libreta de Apuntes. ¿Qué más tiene anotado?"
"¡Sólo unos pocos apuntes" dijo Aquiles agitando nerviosamente las hojas; "unos pocos apuntes de las batallas en las que me he distinguido!"
"¡Veo que hay un montón de hojas en blanco!" observó jovialmente la Tortuga. "¡Las necesitaremos todas!" (Aquiles se estremeció) "Ahora escriba mientras dicto:
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí."
"Debería llamarla D, no Z", dijo Aquiles. "Viene después de las otras tres. Si acepta A y B y C, debe aceptar Z."
"¿Y por qué debo?"
"Porque se desprende lógicamente de ellas. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. No puede discutir eso, me imagino."
"Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera", repitió pensativamente la Tortuga. "¿Esa es otra Hipótesis, o no? Y, si no reconociera su veracidad, ¿podría aceptar A y B y C, y todavía no aceptar Z, o no?"
"Podría", admitió el cándido héroe, "aunque tal obstinación sería ciertamente fenomenal. Sin embargo, el evento es posible. De modo que debo pedirle que admita una Hipótesis más."
"Muy bien, estoy ansioso por admitirla, tan pronto como la haya anotado. La llamaremos 'D'. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. ¿Lo ha registrado en su libreta de apuntes?"
"¡Lo he hecho!" exclamó gozosamente Aquiles, mientras guardaba el lápiz en su estuche. "¡Y por fin hemos llegado al final de esta carrera ideal! Ahora que ha aceptado A y B y C y D, por supuesto acepta Z."
"¿La acepto?" dijo la Tortuga inocentemente. "Dejémoslo completamente claro. Acepto A y B y C y D. Suponga que todavía me niego a aceptar Z."
"¡Entonces la Lógica le agarraría del cuello y le forzaría a hacerlo!", replicó triunfalmente Aquiles. "La Lógica le diría, '¡No se puede librar. Ahora que ha aceptado A y B y C y D, debe aceptar Z!' De modo que no tiene alternativa, Ud. ve."
"Cualquier cosa que la Lógica tenga a bien decirme merece ser anotada", dijo la Tortuga, "de modo que regístrela en su libro, por favor. La llamaremos'E' Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera. Hasta que haya admitido eso, por supuesto no necesito admitir Z. De modo que es un paso completamente necesario, ¿ve Ud.?"
"Ya veo", dijo Aquiles; y había un toque de tristeza en su tono de voz.
Aquí el narrador, que tenía urgentes negocios en el Banco, se vio obligado a dejar a la simpática pareja y no pasó por el lugar nuevamente hasta algunos meses después. Cuando lo hizo, Aquiles estaba aún sentado sobre el caparazón de la muy tolerante Tortuga y seguía escribiendo en su libreta de apuntes que parecía estar casi llena.
La Tortuga estaba diciendo, "¿ha anotado el último paso? Si no he perdido la cuenta, ese es el mil uno. Quedan varios millones más todavía. Y le importaría, como un favor personal, considerando el rompecabezas que este coloquio nuestro proveería los Lógicos del siglo XIX. ¿le importaría adoptar un retruécano que mi prima la Tortugacuática Artificial hará entonces y permitirse ser renombrado 'Aquiles el Sutiles'?"
"¡Como guste!", replicó el cansado guerrero con un triste tono de desesperanza en su voz, mientras sepultaba la cara entre sus manos. "Siempre que usted, por su parte, adopte un retruécano que la Tortugacuática Artificial nunca hizo y se permita renombrarse 'Tortuga Tortura".

Aquiles y la tortuga

Es una de las más clásicas y famosas paradojas de Zenón. Este griego filósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser un punto de vista original, incluso para un griego filósofo. Para demostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que el movimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, que no existe el tiempo… La paradoja de Aquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado “el de los pies ligeros”. El otro contrincante (la tortuga) es un ser por todos conocido, de proverbial lentitud. Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga (supuestamente) antes de empezar decide darle un estadio de ventaja, y tras dárselo, se da el pistoletazo de salida.
Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que el quelónido no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, con renovados bríos, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, la cual de nuevo… ¿se lo imaginan? ¡Efectivamente! La encontramos un poquito más adelante…
Y argumentaba Zenón con mucha razón que así podíamos seguir hasta el infinito, y que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga. Y por tanto cuando vemos a un Aquiles alcanzando a una tortuga es simplemente una ilusión.

¿En dónde se equivoca Zenón?

En realidad no podemos decir que se equivoque, pero lo que está claro es que su argumento no
demuestra nada: una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito. Pero esto no se puso sobre el papel hasta que Leibniz, que era un tipo realmente listo, inventó el cálculo infinitesimal.
Así que si Aquiles recorre 1 estadio en un minuto y la tortuga 1/10 de estadio en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+ 1/10 + 1/100+ 1/1000 …etc: Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… estadios. Y eso Aquiles lo hace en un minuto y pico (1,111…).

Teoria de juegos

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas con aplicaciones en disciplinas muy diferentes (sociología, psicología, economía, dirección de empreas, estrategia militar, biología, inteligencia artificial…). Es una teoría general que estudia situaciones estratégicas, en las que los actores o jugadores eligen diferentes acciones para maximizar sus beneficios. Por ello es aplicable a la evolución de las especies y permite explicar algunos patrones difíciles de comprender en una primera aproximación. Uno de estos problemas es el de la cooperación entre individuos de una misma especie. Darwin enunció el problema como una objeción a su teoría de la selección natural, y no supo darle respuesta:
Aquél dispuesto a sacrificar su vida, antes que traicionar a sus camaradas, muy rara vez dejaría descendencia que heredase su noble disposición. Así pues, parece casi imposible que el número de los dotados con tales virtudes se incrementase por selección natural, es decir, por la supervivencia de los mejor adaptados.
Y sin embargo, tales individuos existen. Y si existen es porque ellos (o sus padres o los padres de sus padres, etc) obtuvieron un beneficio reproductivo con ese comportamiento. Una primera aproximación es la que explica la cooperación o el sacrificio por parientes (hermanos, primos), lo cual se explica porque, al fin y al cabo, cooperando con un hermano estás favoreciendo al 50% de tus propios genes. Este asunto lo explica largamente Richard Dawkins en su teoría del gen egoísta.
Sin embargo el verdadero problema es por qué hay individuos que cooperan con otros con los que no están emparentados, y a quienes nunca van a volver a ver (por ejemplo pararse a ayudar a alguien que ha pinchado la rueda del coche en la carretera). La respuesta viene de la teoría de juegos. Estos problemas se ejemplifican planteando juegos en los que intervienen dos jugadores. El juego de la armonía plantea la siguiente situación:

Los números reflejan la recompensa que el jugador obtiene al tener una determinada actitud (C colaborar o T traicionar), dependiendo de la actitud que presente a su vez el otro jugador. En este caso está claro que los jugadores siempre van a colaborar, porque obtienen mayor recompensa que traicionando, independientemente de lo qué haga el otro. En la naturaleza, la especie evolucionaría para cooperar siempre: formar rebaños, vigilar colonias, cuidar las crías comunitariamente, cazar juntos, etc. Hay otro juego más complejo, llamado Halcón-Paloma, cuya matriz de pagos es la siguiente:

Este juego, aplicado a comportamiento animal (o humano) se plantea así: hay tres formas de comportarse cuando hay un conflicto con otro individuo (por hembras, por territorio…). Estas tres actitudes son: “farolear”, pasar a mayores y atacar, o retirarse. Los individuos halcones o agresivos (H) atacan siempre hasta que el otro se retira o resulta herido, mientras que los individuos palomas o prudentes (P) farolean hasta que el otro ataca y entonces se retiran sin daño. El recurso que se disputa tiene un valor v, y el daño que se puede producir al ser atacado es c. Cuando c>v (el riesgo de ser herido es mayor que lo que se puede obtener) las poblaciones compuestas de halcones solamente no son estables, pues si aparecieran algunos palomas se reproducirían más al no sufrir nunca daños. Y al revés, si todo fueran palomas, unos pocos halcones que aparecieran tendrían ventaja pues los palomas siempre se retirarían. Sin embargo, cuando la proporción de halcones en la población es v/c, hay una estabilidad de estrategia, ya que si los halcones superan ese porcentaje, la evolución favorece a las palomas; y viceversa: si aumenta la proporción de palomas la selección favorece a los halcones. Es una estrategia mixta porque favorece la existencia de dos tipos diferentes de individuos. De este modo desviaciones del punto central favorecen el regreso a este punto: es lo que se llama un equilibrio de Nash (sí, Nash el de la película de Una mente maravillosa).